EN ZEVKLİ MATEMATİK
  2. Boyut
 
math
math
KARE VE KAREDEN ÇOKGEN  ELDE  ETME :

Düzgün bir çokgen olan kareyi katlayarak yeni ve farklı çokgenler elde edebiliriz.
Aşağıda gösterilen diyagramları takip ederek bu çokgenleri sizde yapabilir ve yaptığınız
model üzerinde bu geometrik şekillere ait matematiksel özellikleri daha iyi görebilirsiniz.....

 

Karede karşılıklı köşelerin birleşmesiyle şeklin köşegenleri oluşur.
Bunlar aynı zamanda karenin simetri eksenleridir.
Yani köşegenlerinden katlandığında birbirine eş ve çakışık yeni  geometrik şekil oluşur.
Köşegenler aynı zamanda açı ortaydırlar.
Bunu şekli köşegenlerinden katladığımızda çakışan açılardan anlayabiliriz.
Köşegenlerden başka, karşılıklı kenarların birleşmesi ile oluşan
çizgilerde karenin diğer simetri eksenleridir.
Yani karenin 4 tane simetri ekseni vardır. Simetri eksenlerinin kesişimleri
her zaman diktir ve eksenler birbirini ortalar.  
mathmathmathmath                                                               

Karenin bir köşegeninin her iki yanındaki kenarları köşegene birleştirilirse deltoit oluşur.
Burada köşegenlerinin dik kesiştiklerini görürüz. Uzun olan köşegen aynı zamanda açıortaydır. 
Bunu şekli, uzun köşegeninden iki katlayarak görebiliriz.
Ayrıca uzun köşegen dik kestiği kısa köşegeni iki eş parçaya ayırır.
Deltoitin uzun kollarının uzunluğu birbirine,kısa kollarının uzunluğu da birbirine eşittir. 
Uzun köşegeninden katladığımızda birbiri üzerine çakışan iki eş üçgen, bize bu özellikleri ispatlar.
math 

Deltoitin kısa kenarları  uzun köşegene birleştirilirse eşkenar dörtgen oluşur. Köşegenler birbirini dik ortalar.
Eşkenar dörtgenin tüm kenar uzunlukları birbirine eştir fakat kareden farklı olarak açıları 9o dereceden farklıdır
ve sadece karşılıklı açıları birbirine eşittir.  Aynı zamanda iki köşegende açıortaydır.
Bu özelliklerini şekli köşegenlerinden katlayarak görebiliriz. 
Herhangi bir köşegeninden katlandığında birbirine eş, simetrik ikizkenar üçgenler oluşur.
Bu şeklin üzerinde ikizkenar üçgenin özelliklerini de gösterebiliriz.
Tepe açısından indirilen yükseklik, tabanı iki eş parçaya ayırır yani kenarortaydır.
Aynı zamanda tepe açısını iki eş açıya böler yani açıortaydır. Bu özelliklerini şekli katlayarak görebiliriz.
Eşkenar dörtgene köşegenlerin kesişim noktasından baktığımızda,
şeklin 4 eş dik üçgenden oluştuğunu görürüz.

math 

Eşkenar dörtgen, karenin simetri eksenleri kullanılarak da oluşturulabilir.

 

Eşkenar üçgende tepe noktasından tabana çizilen yüksekliğin,
tabanı iki eş parçaya böldüğü görülmektedir. 
Aynı zamanda tepe açısını da iki eş parçaya ayırmaktadır.
Diğer köşelerden karşısındaki kenarlara dikmeler
indirdiğimizde aynı özelliklerin geçerli olduğunu görürüz. 
O halde bir üçgende herhangi bir köşeden çizilen yükseklik aynı zamanda
kenarortay ve açıortay ise bu üçgen eşkenar üçgendir. 
Bu çizilen doğru parçaları aynı zamanda eşkenar üçgenin simetri eksenleridir.

Eşkenar üçgen oluşturulduktan sonra, eşkenar üçgenin her kenarına ait kenarortayları katlayarak buluyoruz.
Bu üç kenarortayın kesiştikleri nokta, bu üçgenin ağırlık merkezidir.
Üçgenin köşeleri ağırlık merkezinde birleştirildiklerinde oluşan yeni şekil bize düzgün altıgeni verir.
Oluşan şeklin bir yüzünden bakıldığında düzgün altıgen, diğer yüzünden bakıldığında ise altı tane eşkenar
üçgenin oluşturduğu örüntü  görülür. Buradan düzgün altıgenin temel yapısının eşkenar üçgen olduğu ortaya çıkar.
math
Ayrıca karşılıklı köşegenleri birleştiren doğrular, açıortay ve simetri eksenleridir. bu durumda şeklin 6 simetri ekseni vardır.

 

Eşkenar üçgen yaparken takip ettiğimiz yolda 6. şekilden sonra aşağıdaki gibi devam edersek düzgün altıgen elde ederiz.
math

 

DÜZGÜN BEŞGEN

Düzgün beşgenin köşelerinden karşı kenarlara indirilen dikmeler beşgenin her bir kenarını eş iki parçaya ayırır.
Bu dikmelerin kesişim noktasından beşgene bakıldığında beşgenin birbirine eş on dik
üçgene ya da birbirine eş beş ikizkenar üçgene ayrıldığı görülür.   
math
Köşelerden karşı kenara indirilen dikmeler aynı zamanda simetri eksenidir.
Kare,düzgün altıgen ve düzgün beşgen gibi düzgün şekillerin simetri eksenlerinin sayısının kenar sayısına eşit olduğu görülür

 

30 � 60 � 90 Üçgeni
math

 

 

 

 

30 � 60 � 90 üçgenini elde etmenin birkaç farklı yöntemi vardır.
Bunlardan en kolayı eşkenar üçgeni kenar ortayından ikiye katlamaktır.
Diğer yöntemler ise aşşağıdaki diyagramlarda verilmiştir.

mathmath

Bu fikir üzerinde birkaç değişiklik yaparak 60 yada 30 derecelik açıyı aşağıdaki şekillerde gösterildiği gibi karenin köşesinde veya merkezinde de oluşturabiliriz:

math

Karenin köşegenlerinden birinin üzerine katlanması ile ikizkenar dik üçgen oluşur.
Oluşan şekilde hipotenüsün köşe uçları birbirleri üstüne gelecek şekilde katlanıp,
tekrar açıldığına oluşan kat izi, bu üçgende hipotenüse ait yükseklik, aynı zamanda kenar ortay ve açıortaydır.
Oluşan yükseklik hipotenüsün uzunluğunun yarısıdır.  
Burada dik üçgenlerde hipotenüse ait kenarortay uzunluğunun hipotenüsün uzunluğunun yarısı olduğu kanıtlanmış oldu.
math 

Dikdörtgenden ikiz kenar dik üçgen elde etme yolu aşşağıda verilmiştir.

math 

İkizkenar dik üçgen kullanarak elde edilebilecek birkaç geometrik şekil:

math

Paralelkenarın karşılıklı kenarları birbirine paralel ve uzunlukları birbirine eşittir.
Karşılıklı kenarlar orta noktalarından katlandığında, diğer kenarların çakıştıklarını, dolayısıyla paralel olduklarını ispatlar.
Bu aynı zamanda karşılıklı açıların eşitliğini gösterir.


 
  Bugün 9 ziyaretçi (62 klik) kişi burdaydı!